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BWL KurseOFIN · Finanzen 1 · Prof. Schmeling
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Formelsammlung

Alle Formeln aus Finanzen 1 auf einen Blick

Klausurchecker · Finanzen 1 · Formelsammlung

Kapitel 1 · Grundlagen: Arbitrage & Barwert

  • Barwert (eine Zahlung)
    PV = C / (1 + r)^t

    C = sichere Zahlung in t Jahren, r = Marktzins (Diskontieren).

  • Barwert (Zahlungsreihe)
    PV = C1 / (1+r) + C2 / (1+r)² + ... + CT / (1+r)^T

    Einzelbarwerte addieren.

  • Ewige Rente
    PV = C / r

    Unendlich viele gleiche Zahlungen C - trotzdem endlicher Wert.

  • Rentenbarwert (endlich)
    PV = C · [1 - (1+r)^-n] / r = C · RBF

    RBF = Rentenbarwertfaktor; n gleiche Zahlungen C.

  • Kapitalwert
    NPV = -A0 + Σ Et / (1+r)^t

    Investitionsregel: durchfuehren, wenn NPV > 0.

  • Interner Zinsfuss
    -A0 + Σ Et / (1+r)^t = 0

    r = Nullstelle der Kapitalwertfunktion; investieren, wenn r > Marktzins.

  • Fisher-Separation
    C0max = Anfangsvermoegen + Σ NPV aller lohnenden Projekte

    Aufgezinst: C1max = C0max · (1 + r).

Merke: Alles ist Barwert: kuenftige sichere Zahlungen arbitragefrei auf heute abzinsen und aufaddieren - durchgefuehrt wird, was einen positiven Kapitalwert hat. Interner Zinsfuss und…

Kapitel 2 · Aktienbewertung (Dividendenmodell & Gordon-Growth)

  • Ein-Perioden-Modell
    P0 = (E[Div1] + E[P1]) / (1 + rE)

    Folien-Notation: BK0 statt P0. Wer zum fairen Kurs kauft, macht ein Null-NPV-Geschaeft.

  • Dividendendiskontierungsmodell (DDM)
    P0 = E[Div1]/(1+rE) + E[Div2]/(1+rE)² + E[Div3]/(1+rE)³ + ...

    Der Kurs ist der Barwert ALLER kuenftigen Dividenden.

  • Ewige Rente (konstante Dividende)
    P0 = E[Div] / rE

    Spezialfall des DDM bzw. Gordon-Growth mit g = 0.

  • Gordon-Growth
    P0 = E[Div1] / (rE - g)

    Nur gueltig fuer g < rE. Im Zaehler die Dividende des naechsten Jahres!

  • Implizite Eigenkapitalkosten
    rE = Div1 / P0 + g

    Dividendenrendite plus Wachstumsrate - aus dem beobachteten Marktkurs abgelesen.

  • Renditezerlegung
    rE = Div1/P0 + (P1 - P0)/P0 = Dividendenrendite + Kursrendite

    Im Gordon-Modell ist die Kursrendite gerade die Wachstumsrate g.

  • Unternehmensbewertung (ewige Gewinne)
    V0 = E(G) / rWACC

    Dieselbe Ewigkeits-Logik: Gewinne statt Dividenden, gewichteter Kapitalkostensatz statt rE.

Merke: Eine Aktie ist ein Barwert: Kaufpreis = zukuenftige Ertraege / (1 + Zins). Im Gordon-Zaehler steht immer die Dividende des NAECHSTEN Jahres (Div1) - und die Formel gilt nur fuer g…

Kapitel 3 · Anleihen, Renten & Zinsstruktur

  • Barwert
    PV = C / (1 + r)^t

    C = sichere Zahlung in t Jahren, r = Marktzins.

  • Rentenbarwert (Annuität)
    PV = (C / r) · (1 - (1 + r)^-T)

    T Jahre lang die feste Zahlung C (nachschüssig).

  • Ewige Rente
    PV = C / r
  • Ewige Rente mit Wachstum (Gordon-Rente)
    PV = C_1 / (r - g)

    C_1 = erste Zahlung in t=1, danach jedes Jahr mit Rate g wachsend (nur sinnvoll für r > g).

  • Nullkuponanleihe (Zerobond)
    Kurs = Nominal / (1 + r)^T

    Nur eine Zahlung am Ende. Nach r aufgelöst: r = (Nominal / Kurs)^(1/T) - 1 (Effektivrendite).

  • Kuponanleihe
    Kurs = (Kupon / r) · (1 - (1 + r)^-T) + Nominal / (1 + r)^T

    Kupon = Kuponsatz · Nominalwert; Kupon-Rente plus Nullkupon-Baustein.

  • Annuitätendarlehen (Kreditrate)
    Rate = Kredit / [(1/r) · (1 - (1 + r)^-T)]

    Umkehrung der Rentenbarwertformel: gleiche jährliche Rate, die den Kredit in T Jahren tilgt.

  • Terminzins (Forward Rate)
    1 + f_(t-1,t) = (1 + r_t)^t / (1 + r_(t-1))^(t-1)

    Aus zwei benachbarten Kassazinsen r_(t-1) und r_t.

Merke: Ob Rente, Anleihe oder Kredit – jede Bewertung ist im Kern Diskontieren: künftige Zahlungen auf heute abzinsen und aufaddieren. Für den Kurs-Schnellcheck gilt: Kupon über…

Kapitel 4 · Risiko & riskante Zahlungsströme

  • Erwartungswert
    E(r) = μ = Σ p_i · r_i

    Jede Rendite r_i mit ihrer Wahrscheinlichkeit p_i gewichten; p_i ≥ 0, Summe aller p_i = 1.

  • Varianz
    Var(r) = σ² = Σ p_i · (r_i - μ)²

    Wahrscheinlichkeitsgewichtete quadrierte Abweichungen vom Erwartungswert (in %-Punkten²).

  • Standardabweichung
    σ = Wurzel aus Var(r)

    Gleiche Einheit wie die Rendite – das gebräuchlichste Risikomaß.

  • Risikoprämie
    Risikoprämie = r - r_f

    Renditeaufschlag über den risikolosen Zins als Ausgleich fürs Tragen des Risikos.

  • Diskontierung unter Unsicherheit
    Barwert = E[C] / (1 + r_f + Risikoprämie)

    Die erwartete Zahlung mit dem risikoangepassten Zins abzinsen – je höher die Prämie, desto niedriger der Barwert.

  • Kovarianz & Korrelation
    σ_AB = Σ p_i · (r_iA - μ_A) · (r_iB - μ_B); ρ_AB = σ_AB / (σ_A · σ_B)

    ρ_AB liegt immer zwischen -1 und +1: +1 gleichläufig, -1 gegenläufig, 0 unkorreliert.

Merke: Unter Unsicherheit beschreibst du eine Anlage mit ZWEI Zahlen: μ = E(r) sagt, was im Schnitt kommt, σ sagt, wie stark es schwankt. Bewertet wird immer die ERWARTETE Zahlung mit r…

Kapitel 5 · Portfoliotheorie & Diversifikation

  • Korrelation
    ρ_AB = σ_AB / (σ_A · σ_B)

    Normierte Kovarianz; es gilt immer -1 ≤ ρ_AB ≤ +1.

  • Kovarianz aus Korrelation
    σ_AB = ρ_AB · σ_A · σ_B

    Umgestellte Korrelationsformel – dieser Baustein steckt im Kovarianzterm der Portfoliovarianz.

  • Portfoliorendite (2 Anlagen)
    μ_PF = x_A · μ_A + x_B · μ_B

    Gewichteter Durchschnitt der Einzelrenditen; x_A + x_B = 1. Kein Korrelationsterm.

  • Portfoliovarianz (2 Anlagen)
    σ_PF² = x_A² · σ_A² + x_B² · σ_B² + 2 · x_A · x_B · ρ_AB · σ_A · σ_B

    Der dritte Summand ist der Kovarianzterm (2 · x_A · x_B · σ_AB) – er drückt das Risiko, sobald ρ < +1.

  • Portfoliorisiko
    σ_PF = (σ_PF²)^(1/2)

    Wurzel aus der Varianz. Nur im Grenzfall ρ = +1 gilt: σ_PF = x_A · σ_A + x_B · σ_B (gewichteter Durchschnitt).

Merke: Die Portfoliorendite ist immer der gewichtete Durchschnitt – das Portfoliorisiko fast nie: Sobald ρ < +1, drückt der Kovarianzterm das Risiko unter den gewichteten Durchschnitt…

Kapitel 6 · CAPM & Kapitalkosten

  • Beta
    β_i = Cov(R_i, R_M) / Var(R_M)

    Misst nur das systematische Marktrisiko; der Markt selbst hat β = 1.

  • Marktrisikoprämie
    MRP = r_M - r_f

    Preis für eine Einheit Marktrisiko; zugleich die Steigung der Wertpapiermarktlinie (in β).

  • CAPM / SML
    r_i = r_f + β_i · (r_M - r_f)

    Faire erwartete Rendite = Eigenkapitalkosten. Sonderfall β = 0: r = r_f.

  • Marktpreis des Risikos
    λ = (r_M - r_f) / Var(R_M)

    Risikoprämie pro Einheit Varianz; Steigung der Kapitalmarktlinie. CAPM in Kovarianzform: r_i = r_f + λ · Cov(R_i, R_M).

  • Beta bei Verschuldung
    β_EK = β_GK · (EK + FK) / EK

    Bei risikolosem FK (β_FK = 0). Das Geschäftsrisiko β_GK ist durch das Investitionsprogramm fix; Verschuldung hebelt das EK-Beta.

Merke: Bezahlt wird nur das Marktrisiko: Das unsystematische Risiko lässt sich kostenlos wegdiversifizieren, vergütet wird allein das Beta – nicht die Gesamtschwankung σ. Also r_E = r_f…

Kapitel 7 · Optionsbewertung

  • Payoff Long Call
    Payoff = max(S_T - K, 0)

    Ausgeübt wird nur über dem Basispreis; darunter lässt man den Call verfallen.

  • Payoff Long Put
    Payoff = max(K - S_T, 0)

    Spiegelbildlich: Der Put gewinnt, wenn der Kurs unter den Basispreis fällt.

  • Break-even Long Call
    Break-even = K + Prämie

    Gewinn = Payoff - Prämie; erst über dem Break-even wird der Long Call profitabel.

  • Hedge-Ratio (Option-Delta)
    Δ = (C_u - C_d) / (S_u - S_d)

    Zahl der Aktien, die die Option nachbildet. Beim Put negativ (C durch P ersetzen).

  • Replikationsportfolio
    B = (C_u - Δ · S_u) / (1 + r) und C_0 = Δ · S_0 + B

    Negatives B = Kreditaufnahme, positives B = Geldanlage. C_0 ist der einzige arbitragefreie Optionspreis.

  • Put-Call-Parität
    P_0 = C_0 + K/(1+r) - S_0

    Gilt für gleichen Basispreis und gleiche Laufzeit; ein Optionspreis bestimmt den anderen.

Merke: Eine Option ist ein Recht ohne Pflicht – bewertet wird sie nicht mit Wahrscheinlichkeiten, sondern über No-Arbitrage: Ein Portfolio aus Δ Aktien und Kredit liefert in beiden…

Kapitel 8 · Kapitalstruktur (Modigliani-Miller)

  • WACC (Kapitalkosten)
    r_wacc = EK/V · r_E + FK/V · r_D

    Gewichteter Durchschnitt der Renditeforderungen; V = EK + FK.

  • MM II (Kernformel)
    r_E = r_wacc + (r_wacc - r_D) · l

    l = FK/EK (Verschuldungsgrad). r_E steigt linear mit der Verschuldung, r_wacc bleibt konstant.

  • Unternehmenswert (ewige Rente)
    V = EK + FK = E(CF) / r_wacc

    MM I: im vollkommenen Markt unabhängig von der Kapitalstruktur.

  • Beta-Hebel
    β_EK = β_Asset · (1 + l)

    Verschuldung hebelt das systematische Risiko des Eigenkapitals (β_FK = 0).

  • Tax Shield (dauerhaftes FK)
    Barwert Tax Shield = τ · FK

    V_L = V_U + τ · FK. Jährliche Ersparnis τ · r_D · FK, als ewige Rente mit r_D abgezinst.

  • Trade-off-Theorie
    V_L = V_U + Barwert Tax Shield - Barwert Insolvenzkosten

    Optimum: Grenz-Steuervorteil = erwartete Grenz-Insolvenzkosten.

Merke: Im vollkommenen Markt ist die Finanzierung irrelevant: Verschuldung hebelt nur r_E und Beta (MM II), Wert und r_wacc bleiben konstant (MM I). Erst Steuern (V_L = V_U + τ · FK) und…

Kapitel 9 · Klausurtraining

  • Kapitalwert (NPV)
    NPV = -I_0 + CF_1/(1+r) + CF_2/(1+r)² + …

    Entscheidungsregel: NPV > 0 → Projekt durchführen.

  • Gordon-Growth
    P_0 = D_1 / (r_E - g)

    Das Wachstum g wird im Nenner ABGEZOGEN – beliebte Fehlerfalle.

  • Wertpapiermarktlinie (CAPM)
    μ = r_f + (μ_M - r_f) · β

    Punkte oberhalb der SML = unterbewertet, unterhalb = überbewertet.

  • Fairer Aktienkurs
    P_0 = E(CF_1) / (1 + μ)

    Mit der CAPM-Sollrendite μ abzinsen, nicht mit dem risikolosen Zins.

  • Put-Call-Parität
    P = C - S + K/(1+r)

    Gleicher Basispreis, gleiche Laufzeit – ein Optionspreis bestimmt den anderen.

  • WACC & MM II (ohne Steuern)
    WACC = w_FK · i + w_EK · e und e = k + (k - i) · FK/EK

    Gewichte zu Marktwerten; ohne Steuern bleibt der WACC bei jeder Kapitalstruktur konstant.

Merke: Das Klausurtraining bündelt Kapitel 1–8: Wer je Block das eine Kernwerkzeug parat hat – NPV > 0, Barwert & Gordon-Growth, Erwartungswert & Diversifikation, SML, Duplikation &…

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